Perbandingan Sisi-sisi dalam Segitiga Siku2 :

Perbandingan Sisi-sisi dalam Segitiga Siku2 :

cara menghafal perbandingan di atas sangat mudah dan telah dipraktekkan secara luas. mereka menghafal rumus trigonometri di atas dengan memberi nama pada tiap sisi segitiga siku2 yang akan dicari nilai trigonometrinya......

depan = sisi tegak di depan sudut yang akan dicari nilainya dan disingkat "de"

samping = sisi tegak di samping sudut yang akan dicari nilainya dan disingkat "sa"

miring = sisi miring dari segi tiga siku2 tersebut dan disingkat "mi"

contoh penerapannya :

sin = demi berarti depan per miring dan cos = sami berarti samping per miring

Sudut lebih besar dari 90⁰ sampai 360⁰

sekarang kita membahas sudut2 yang besarnya lebih dari 90⁰⁰...untuk memahami hal ini sudut2 tersebut kita gambarkan dalam diagram kartesius dan besarnya sudut dihitung dari sumbu x+ diputar berlawanan dengan arah jarum jam / ke atas. kemudian keempat daerah yang terdapat dalam diagram kartesius tersebut di beri nama "kuadran" yang terdiri dari 4 daerah seperti gambar di bawah ini.

sebelum kita membahas rumus2 dalam tiap2 kuadran terlebih dahulu kita harus paham dan cepat dalam menentukan suatu sudut masuk dalam kuadran yang mana....

kuadran I terletak antara sudut 0⁰ - 90⁰

kuadran I terletak antara sudut 90⁰ - 180⁰

kuadran I terletak antara sudut 180⁰ - 270⁰ 

kuadran I terletak antara sudut 270⁰ - 360⁰

sebagai contoh sudut 230⁰ berarti terletak di kuadran III dan 120⁰ terletak di kuadran II

selanjutnya kita merubah besarnya sudut2 tersebut berdasarkan rumus2 dalam tiap2 kuadran....setiap kuadran mempunyai dua buah rumus yang berbeda. hal ini terjadi karena perbedaan sumbu acuan dalam menentukan besarnya sudut perubahannya....

sebagai contoh :

sudut 120⁰ berarti terletak di kuadran kedua kemudian sudut ini kita ubah dengan mengacu batas2 kuadran II yakni sumbu X- dan sunbu Y+. bila kita mengacu dengan sumbu X maka besarnya berubah menjadi 60⁰ berasal dari sudut 120⁰ kita ubah menjadi (180⁰-60⁰) kemudian angka yang kita pakai angka 60⁰ nya aja. sedangkan bila kita mengacu pada sumbu Y maka besarnya berubah menjadi 30⁰ yang berasal dari sudut 120⁰ kita ubah menjadi (90⁰+30⁰) dan angka yang kita pakai adalah angka 30⁰ aja......

kemudian berdasarkan apa kita merubah-ubah besarnya angka dalam sudut yang kita cari? tentu saja berdasarkan rumus2 seperti yang tersantum di bawah ini :

a.  Sudut Mengacu pada Sumbu X

di kwadran I semua hasil trigonometri bernilai positif, di kwadran II yang bernilai positif (+) hanya sin sedangkan yang lainnya bernilai negatif (-), di kwadran III yang bernilai positif hanya nilai tg dan ctg sementara di kwadran IV yang bernilai positif hanya cos nya saja. sehinga yang bernilai positif dari kwadran I sampai IV dihafal dengan kata "All-sin-tg-cos" (all berarti semua bernilai positif)

b. Sudut Mengacu pada Sumbu Y

 

bila kalian perhatikan hafalan "All-sin-tg-cos" masih berlaku dalam rumus2 ini. sebagai contoh di kwadran II nilai sin nya tetap positif (+) walaupun setelah masuk rumus berubah menjadi cos. jadi penentuan nilai positif/negatif pada tiap2 kwadran ditentukan sebelum nilainya dirubah berdasarkan rumus dalam tiap2 kwadrannya.

setelah melihat rumus2 di atas kalian tentunya akan lebih mudah memahami tentang contoh yang saya kemukakan sebelumnya....yakni tentang perubahan nilai sudut 120⁰ :

>> nilai sin 120⁰ dengan mengacu perubahan sudut pada sumbu x berubah menjadi sin (180⁰-60⁰) karena 180⁰ - 60⁰ = 120⁰ dan menurut rumus di atas nilai ini setara dengan sin 60, jadi kesimpulannya sin 120⁰ = sin 60⁰ 

>> nilai sin 120⁰ dengan mengacu sumbu Y berubah menjadi sin (90⁰+30⁰) dan nilai ini setara dengan cos 30⁰, jadi kesimpulannya sin 120⁰ = cos 30⁰

>> nilai cos 120⁰ dengan mengacu sumbu X berubah menjadi cos (180⁰-60⁰) dan nilai ini setara dengan -cos 60⁰, jadi cos 120⁰ = - cos 60⁰

 >> nilai cos 120⁰ dengan mengacu sumbu Y berubah menjadi cos (90+30) dan berdasarkan rumus nilai ini setara dengan - sin 30⁰, jadi cos 120⁰ = - sin 30⁰

saya berharap dengan contoh di atas kalian menjadi lebih jelas....jadi sebagai patokan :

>> harga +/- dihafalkan dengan kata "all-sin-tg-cos" dengan mengacu sin/cos/tg sebelum masuk rumus

>> bila kita mengacu sumbu X (180⁰-...di kwadran II, 180⁰+...di kwadran III dan 360⁰-...di kwadran IV nilai sin tetap jadi sin, nilai cos tetap jadi cos dan nilai tg tetap jadi tg

>> bila kita mengacu sumbu Y (90⁰-...di kwadran I, 90⁰+...di kwadran II, 270⁰-...di kwadran III dan 270⁰+...di kwadran IV nilai sin berubah menjadi cos, nilai sin berubah menjadi sin dan nilai tg berubah menjadi ctg

Sudut Yang Lebih Dari 360⁰ atau Kurang Dari 0⁰

selanjutnya bagaimana dengan sudut yang lebih dari 360⁰ atau kurang dari 0⁰ (negatif)? caranya sudut tersebut kita +/- dengan 360⁰ atau kelipatannya hingga harganya antara 0⁰ - 360⁰

misalnya : cos 950⁰ = cos (950⁰-720⁰) = cos 230⁰ jadi terletak di kwadran III maka cos 230⁰ = - cos 50⁰

nilai 720⁰ berasal dari kelipatan 360⁰...mengapa yang digunakan 720⁰ bukan 360⁰? karena 950⁰-360⁰=590⁰ nilai ini belum berada dalam kisaran sudut 0⁰ - 360⁰ jadi kita gunakan 950⁰-720⁰=230⁰.

Persamaan Trigonometri
Setelah kita mengenal dan memahami perubahan2 berbagai sudut selanjutnya kita bahas beberapa persamaan dalam trigonometri...

dengan menggunakan ketiga persamaan di atas ditambah hubungan antara sin, cos, tg, ctg sec dan csec yang telah ditampilkan sebelumnya dapat dikembangkan menjadi berbagai soal persamaan trigonometri. biasanya kita disuruh untuk menyederhanakan suatu persamaan atau membuktikan nilai kebenaran antara dua persamaan...

sedikit tips yang dapat kalian gunakan untuk menyelesaikan soal2 tersebut adalah :

merubah setiap bentuk tg, ctg, sec dan csec menjadi sin dan/atau cos kemudian disederhanakan

dalam soal pembuktian kalian pilih ruas yang paling rumit persamaannya untuk dijadikan sama dengan ruas yang persamaannya lebih sederhana. karena menyederhanakan lebih mudah dari menguraikan ke bentuk2 yang tidak tetap.

bila soal berwujud dalam pecahan2 langkah awaql yang kalian lakukan adalah menggabungkan pecahan2 tersebut menjadi satu dengan menyamakan penyebutnya.

bila soal berwujud pecahan yang dikominasi dengan penjumlahan/pengurangan dapat kalian coba mengalikan dengan sekawannya...

dalam rumus2 trigonometri dalam segitiga ini dibagi dalam 2 kelompok yakni rumus sin dan rumus cos, sebagai berikut :

Rumus Sin

rumus ini menunjukkan perbandingan sisi segitiga dengan harga sin sudut yang dihadapannya sama untuk setiap sisi pada segitiga yang sama. berarti bila diketahui pasangan sisi dan sudut hadapannya dapat digunakan untuk mencari pasangan sisi atau sudut lain dalam segitiga tersebut.

Rumus Cos 

berbeda dengan rumus sin, pada rumus cos yang dibutuhkan adalah salah satu sudut dan dua buah sisi yang mengapitnya telah diketahui.....sehingga sisi yang berada di depan sudut tersebut dapat dicari. selain dapat mencari salah satu sisi dalam segitiga bila syarat2nya dipenuhi, rumus ini juga dapat digunakan untuk mencari besar tiap2 sudut dalam segitiga apabila ketiga sisi dalam segitiga tersebut diketahui...

sekarang kita beralih pada pembahasan mengenai persamaan trigonometri...

persamaan di atas dikombinasikan dengan persamaan2 sebelumnya yang berkaitan dengan hubungan sin, cos, tg, ctg sec dan csec menjadi soal2 yang berkaitan dengan perkembangan persamaan tersebut...biasanya diperintahkan untuk menyederhanakan persamaan atau membuktikan antara dua persamaan setara atau tidak setara.

untuk tipe soal yang pertama biasanya cukup mudah, kuncinya adalah kita rubah setiap bentuk tg, ctg, sec dan csec menjadi sin atau cos. setelah itu baru kita sederhanakan....untuk tipe soal yang kedua perubahan tidak selalu ke sin atau cos namun lebih variatif.

selanjutnya kita bahas persamaan trigonometri yang lainnya :

 

keterangan : 

k = 0, 1, 2, 3, 4,.......

x dapat diganti dengan f(x) 

dalam tipe soal ini intinya bentuk sin x / cos x / tg x kita pertahankan berada di ruas kiri...sedangkan angka2 lain di luar sin, cos atau tg dipindah ke ruas kanan kemudian gabungan angka2 di ruas kanan tersebut kita cari harga sin, cos atau tg nya..... barulah kita cari harga x1 dan x2 nya dengan merubah-ubah harga k nya. untuk soal yang x nya diganti dengan f(x) sebelum merubah-ubah kahra k kita cari dulu x nya dengan memindahkan setiap bentuk selain x keruas kanan sehingga ruas kiri tinggal x....yang harus kita ingat dalam setiap pindah ruas adalah penjumlahan/pengurangan dipindahkan lebih dahulu sebelum pembagian dan perkalian....

pada akhir artikel ini....

 akan saya gunakan untuk membahas "hubungan koordinat kartesius dengankoordinat kutub" :

ini dia hubungannya...

arc tg (y/x) artinya sudut yang nila tg nya samadengan y/x

pada bagian ini akan kita bahas rumus2 trigonometri yang berkaitan dengan operasi bilangan. rumus2 ini dikelompokkan dalam beberapa bagian :

1. Penjumlahan dan Pengurangan Sudut

Pada pembahasan yang terdahulu telah dibahas mengenai penyetaraan nilai dari sudut2 dalam kwadran II, III ataupun IV menjadi di kwadran I. Setelah di kwadran I kita dapat mencari nilai trigonometri dari masing2 sudut asalkan sudut tersebut istimewa....yakni sudut yang nilainya sering dihafal....namun bagaimana mencari nilai trigonometri yang tidak istimewa? perlukah menggunakan kalkulator? he..he..padahal kalau pas ulangan atau ujian kan gak boleh ya.....

terus...terus.....

emang gak boleh pake kalkulator walaupun bukan sudut2 yang istimewa tapi yang jelas soal2nya bisa dikerjakan tanpa kalkulator....nah itulah yang akan saya bahas dalam artikel kali ini....rumus2 berikut biasanya digunakan untuk mencari nilai trigonometri sudut2 yang tidak istimewa namun masih mempunyai hubungan dengan sudut2 istimewa dalam trigonometri......sebagai contoh tidak ada hafalan sin 15....tapi nilai ini dapat kita ubah menjadi sin (45-30) gitu.... nah nilainya berapa ya....?

klo ingin mencari nilainya perlu menghafal rumus di bawah ini :

nah itu dia yang harus kalian hafal...nah nilai sin 15 ? ya dicari sendiri aja...kan udah ada rumusnya....

2. Rumus-rumus Sudut Kembar

rumus2 ini sebenarnya berasal dari rumus penjumlahan sudut  yang telah kita bahas tadi di atas....namun kenyataannya malah lebih sering keluar dalam berbagai tipe soal....soalnya bentuknya menarik sih....(ada yang setuju.....? ) walau gak setuju kalian pasti akan sering menggunakannya...jadi setuju aja...(maksudnya biar mudah ngafalnya..) kan klo sudah tertarik kan jadi lebih ingin mendalami...jadi harapannya lebih mudah hafal dan sukar lupanya. Okee... ni dia rumus2nya :

nah....baiknya kalian hafal baik2 rumus2 di atas. klo perlu kalian bolak-balik rumus2nya siapa tahu nemu rumus2 baru.... (dijamin ada) tapi saya kemarin lupa buatnya....kalian cari sendiri aja....

3. Penjumlahan/Pengurangan Fungsi Trigonometri

Pada bagian ini langsung saja saya kasih hafalan rumus2nya.......

4. Perkalian Fungsi Trigonometri

yang ini juga lansung aja ya.......

lah kenapa lang sung ditampilin....!!? ya karena lumayan susah bahasnya.....dan susah dihafal....

itu dulu....sekarang,  udah nemuin cara ngafalnya......

okeee.....

pola di atas itulah yang harus kalian hafal..... misal "sin plus sin = 2sincos"  contoh lain "sin min sin = 2cossin" 

penjumlahan/pengurangan fungsi trigonometri menjadi perkalian fungsi trigonometri di atas dapat dapat dibalik menjadi perkalian ke penjumlahan/pengurangan fungsi trigonometri.....dalam hal ini yang harus kalian perhatikan adalah perubahan sudut2nya.....dan jangan lupa pada hafalan yang terakhir (cos min cos) ada tanda minusnya......

Itulah rumus2 trigonometri yang harus kalian hafal......

banyak gak..? klo ditambah dengan hafalan sebelumnya tambah banyak kan....jadi baiknya segera kalian hafal......

eitttt.....

ternyata masih ada satu lagi yang harus kalian hafal... namanya.....

5. Rumus yang terlupakan.....

he...he....nama sebenarnya Rumus "penjumlahan fungsi trigonometri sin dengan cos"

wehhh... yang udah dibahas di atas kan penjumlahan sin dengan sin atau cos dengan cos.....ternyata ada to rumus gabungan keduanya...? yups.... rumus itu adalah.....

A dan B adalah suatu angka.....

untuk memudahkan menghafal sebaiknya jangan kalian ubah urutan "cos + sin"nya....tapi klo kalian PD gak papa juga sih.... yang harus kalian perhatikan adalah bila ada nilai negatif (-) brarti kalian gabung dengan nilai A atau B yang punya nilai negatif tersebut....jangan kalian gabung dengan hasil "cos"nya.....

maksud "arc tg B/A" adalah suatu sudut yang nilai "tg"nya samadengan B/A (B adalah angka miliknya Sin dan A adalah angka miliknya Cos).

 

 http://bermaindalambelajar.blogspot.sg/2013/11/mengenal-fungsi-sinus-cosinus-dan.html

http://mediabelajaronline.blogspot.sg/2010/02/rumus-rumus-umum-dalam-trigonometri-ii.html